Imprès des de Indymedia Barcelona : http://barcelona.indymedia.org/
Independent Media Center
Notícies :: antifeixisme
Molt interessant
21 mai 2004
Al segle XVIII, el matemàtic francès Gergonne va estudiar les relacions entre geometria plana i esfèrica.Pesaven les idees de Galileu i Newton, així com la filosofía crítica.Herbert, que coneixia molt bé aquesta filosofía , va rebre l’encàrrec de dissenyar un nou model educatiu per a Alemanya, i en aquest proposà un major comunicació entre ciències i humanitats.
Farina.jpg
Lobatchevsky dirà en 1919 que la geometria és independent del món, tracta dâun model idealitzat.Gauss, però, fent medicions de caire geogràfic, ja se nâhavia adonat que la geometria del món no és pas la euclidiana.Hom es pregunta de què és veritable aleshores la geometria euclidiana. I la resposta és que no és veritable de res, de la geometria només interessa la consistència i no la veritat.
Amb la lògica matemàtica (Frege, Boole, Peano) es posarà de relleu que tampoc la lògica ha de tenir a vore amb la veritat.La lògica només és un mètode per a trasmetre la veritat dâunes premisses a dâaltres, de manera que només trobarem la veritat si ja haviem partit dâella.
Riemann, el qual aparentment no coneix la situació de la geometria del moment, fa una exposició sobre les hipotesis sobre les quals descansa la geometria, i afirma que tot depèn de la idea de varietat, que engloba conceptes com punt, línia, volum, etc..El seu posicionament és que els conceptes no han de ser rígids, sino que han de poder contindre contradiccions insospitades, que permetran refinar el concepte fins que es torne a descobrir una altra contradicció, i repetir el procés ad infinitum.Dâaltra banda, segons com sâinterpreten els conceptes, podran sorgir teories alternatives.Però, mentre que en ciència les noves teories substitueixen a les velles, en matemàtiques cal mantindre-les totes, perque cada una pot ser útil a u determinat propòsit.A més, Riemann afirma que poden haver diverse geometries del món.Cal dir que la teoria riemanniana és la més acceptada per la física actual.
Recordem que la geometria euclidiana exposada als âElementsâ? constava de postulats, nocions comuns i definicions.
El desafiament a la cinquana noció comú dâEuclides (el tot és més gran que la part) va donar lloc a la teoria de lâinfinit actual, de la mateixa manera que el desafiament al postulat de les paralâ¢leles havia donat lloc a les geometries no-euclidianes.
Aristòtil diu que les definicions son objectives i veritables.Si hom vol fer matemàtiques ha de sevir-se necessàriament de les definicions, i aquestes no poden violar lâús establert per aquella.Les definicions ens dones lâessència dâallò definit, però no garanteixen lâexistència de res.Lâexistència en geometria ve garantida pels axiomes i significa construcció: per tal que existeixi una figura geomètrica, aquesta ha de construir-se.Els grecs desconeixien la idea de lâespai, per això la geometria no és una ciència de lâespai, sino una ciènci activa de les figures geomètriques.Les definicions ens donen les coses que cal suposar, però que no podem construir (punt, línia...)
Els postulats tenen tres funcions: fer explicits els supòsits, afirmar la possibilitat de certes construccions i afirmar les relacions bàsiques existents entre certes entitats, bàsiques per a poder demostrar teoremes.Ja des del començament, doncs, cal partir dâalguna cosa: la matemàtica té una naturalesa hipotètica.
Les nocions comuns serien lâequivalent als axiomes lògics
EL POSTULAT DE LES PARALâ¢LELES
Malgrat que els postulats no es demostren, hom va intentar demostrar el postulat de les paralâ¢leles a partir dels altres quatre amb lâintenció de convertir-lo en teorema.Però aquests intents van fracassar.
Saccheri va demostrar que aquest postulat és independent dels altres
Per a Kant, la geometria és una ciència de lâespai: és veritable de les nostres intuicions pures a priori.Kant considera que la majoria dels coneixements matemàtics son judicis sint`tics a priori
Tant la filosofía de Kant com lâautoeitat dâEuclides suposen un obstacle per a lâaparició de les geometries no euclidianes.

EL PROBLEMA DE LâINFINIT
1)     ACTITUD HISTÃRICA VERS LâINFINIT
La analitització de le geometria (representació dels punts com a parells de nombres) duta a terme per Descartes, permeté repreentar lâespai de manera numérica
Des del segle XVIII les matemàtques havioen experimentat un considerable desenvolupament gràcies a Leibniz i Newton.Però els fonaments fallaven, i al segle XIX encara restaven sense explicar molts conceptes bàsics.Front a això, Cauchy proposa un programa basat en el rigor i Weierstrass intenta lâaritmetització de lâanàlisi , programa que també intenta relitzar Klein.
Basant-se en que els conceptes més complexes poden explicar-se a partir dâaltres més simples, volen explicar el nombre real en termes de nombre natural.Però encara que ho expliquem tot en termes de nombre natural, resta la pregunta de què és el nombre natural.Els matemàtics es llençen a intentar contestar-la i formen dos blocs.El primer, representat per Kronecker , defensava que la idea de nombre natural és prou intuitiva com per a poder justificar-ho tot a partr dâella.Lâaltre bloc, representat per Dedekind, Cantor i Frege, va contestar que podem exlicar el nombre natural a partir de la idea de conjunt, anomanada âsistemaâ? per Dedekind, âconjuntâ? per Cantor i âconcepteâ? segons Frege.La teoría de Cantor era la més simple i a més permetia de resoldre problemes matemàtics, mentre que la de Frege va resultar ser inconsistent.Zermelo va axiomatitzar la teoría de Cantor amb la intenció dâevitar les paradoxes.
Dâaltra banda, la tendència representada per Kronecker es considera precursora de lâintuicionisme de Brouwer , el qual va influir molt al segon Wittgenstein.Aquesta tendència, seguint a Kant, considera la matemàtica com una construcció: és antimetafísica.Per contra, les idees de cantor estan carregades de metafísica, ja que considera la matemàtica com un descobriment.
De les idees de Frege va sorgir el logicisme, el qual defensa que lâaritmètica pot reduir-se a lògica.Frege desenvolupa la lògica formal i Russell continuarà aquesta tasca.
El formalisme, representat per Hilbert, pren idees del logicisme i de lâintuicionisme.
El cisma que sâha produit al segle XIX ha estat causat per la idea dâinfinit.Kronecker i Brouwer defensaran que lâinfinit matemàtic és el potencial.Per a cantor, lâinfinit seria una propietat dels conjunts.
Galileu se nâadona que lâessència de lâinfinit és paradoxal : la part és igual que el tot.A més, galileu afirma que la llei de tricotomia no es aplicable en dominis infinits.La llei afirma que, donats dos nombres A i B, A només pot ser major, menor o igual que B.
Leibniz, que defensava que lâinfinit actual es pot trobar a la natura, deia en canvi que en el cas de les matemàtiques lânfinit només és una forma de parlar.
Gauss es basa en la idea de límit per afirmar que podem parlar de lâinfinit com les quntitats molt xicotetes o enormes a les quals tendim.
Fourier va expressar la seua teoría analítica del calor a través de lâanàlisi matemàtica.Troba lâinfinit en acte en les sèries trigonomètriques.Per exemple, lâinfinit actual seria la summa de
cos x + ½ cos 2x + 1/3 cos 3x + ....
Kant pensava que lâordre dels nombres modelitza el apriori del temps.En una sèrie indefinida no podem tenir experència de cada element, per això no podem tenir experiència del temps, i caldrà considerar-lo com una condició prèvia.
Bolzano és el primer que planteja que lâinfinit és una propietat de coses: de agregats (conjunts).Amb Bolzano, la matemàtica se separa de la realitat, i és precisament en aquesta època que sorgeixen les geometeies no euclidianes.Bolzano pensa que existeix un món propi de les matemàtiques, el qual és objectiu.Ãs en aquest món on trobem que alguns agregats tenen la propietat de ser infinits en acte.Ho demostra afirmant que el conjunt de les veritats és infinit:
âPlató és grecâ?
    âÃs veritat que âPlató és grecâ?â?
    âÃs veritat queâÃs veritat que âPlató és grecâ?â?
âÃs veritat queâÃs veritat queâÃs veritat que âPlató és grecâ?â?â?
...
Però al fer això està emparellant el conjunt de les veritats amb el conjunt dels nombres naturals, el qual dona per suposat, i cau així en circularitat.
Dedekind usa una demostració similar pèr a demostrar la existència de sistemes (conjunts).Afirma que el conjunt dels seus objectes de pensament és infinit
    ââSâ? és un objecte del meu pensamentâ?
    âââSâ? és un objecte del meu pensamentâ?â?és un objecte del meu pensamentâ?
ââââSâ? és un objecte del meu pensamentâ?â?és un objecte del meu pensamentâ?és un objecte del meu pensamentâ?
....
Es diu que un conjunt és dedekind-infinit quan es pot posar en correlació amb una part seua pròpia.
Cantor era més agosarat que Dedekind i munta una nova teoría que li crea conflictes amb el altres matemàtics.La seua teoría és que lâinfinit és múltiple i divers : hi han infinits infinits.
Cantor defineix conjunt com la âcolâ¢lecció en un tot dâobjectes definits i separats de la nostra intuició o del nostre pensament que sâanomenen âelementsâ?â?.Aquesta definició és el germe de les paradoxes, ja que âcolâ¢leccióâ? és sinònim de âconjuntâ?
Galileu posa en correlació cada nombre natural amb el seu quadrat, i arriba a la conclusió de que la quantitat de nombres naturals és igual a la dels seus quadrats, però com que els quadrats de N són un subcnjunt de N, aleshores la part és igual que el tot.(Un conjunt A és subconjunt de B quan tots els elements de A estan inclosos en B, però diem que A és una part impròpia quan tot element que està en A està també en B)
Els conjunts N i N2 tenen el mateix nombre dâelements, però no els mateixos elements.Si no tenim això en compte, sorgiràn paradoxes.
Cantor introdueix una idea de gran importància: la de nombre cardinal.Necessitem saber quans nombres naturals existeixen, perque el conjunt N ens serveix de referència per a poder comparar.Cantor respon que la quantitat de nombres naturals és aleph sub zero
Per tant
Cal subratllar el gir radical que fa Cantor a lâeixir-seân de lâinfinit per a poder estudiar-lo des de fora.
Hom pot saber si un conjunt és infinit posant-lo en correlació amb N.Aleshores és planteja la questió de si podem trobar conjunts amb una cardinalitat major que aleph sub zero.La resposta és si: per exemple, el conjunt dels nombres reals.cantor diu que hi ha tants nombres racionals com naturals.Però el conjunt R és major i ho demostra amb lâargument de la diagonal.
Prenem els nombres reals compresos entre 0 i 1.Mentre que en els elements de N son discrets, en el cas de R no creixen solament en longitud, sino també en profunditat: entre dos R qualsevulla, sempre hi han infinits R.Correlacionem amb N un llistat de R compresos entre 0 i 1, formrm un nou nombre pel procediment de la diagonal i li summem 1 a cada dígit.El nombre resultant no està en la llista i per tant el cardinal de R ( ) és major que el de N ( )
El teorema de Cantor diu que âEl cardinal dâun conjunt és estrictament menor al cardinal de les parts del conjuntâ?.cantor demostrà aquest teorema per als cardinals infinits i demostrà que el nombre dâinfinits és infinit perque la operació és iterativa





Per a Cantor, és numerable qualsevol conjunt finit o infinit no major que N, mentre que si és major que N aleshores és no-numerable.
No hi ha fi en la jerarquia dels infinits.Però fixem-nos en que els subíndex dels és un ordinal
Quan prenem els nombres naturals ordenats, la longitud és ï  .També serà en el cas de que estiguen desordenats, perque podriem relacionar-los amb el patró.Però si prenem el conjunt
1, 3, 6, 10, 15, .... 0
trobem una diferència amb els anteriors i és que té un darrer element, de manera que la seua longitud serà
En un domini infinit es transformen les regles de lâaritmètica, ja que si summem un cardinal finit a un carduinal infinit el resultat sreà aquest cardinal infinit, però si summem dos cardinals infinits el resultat serà igual al major dels dos.
En el conjunt
    0, 2, 3,... 1, 3, 5, ...
el cardinal és i lâordinal és , és a dir 2
però

Els nombres naturals constitueixen la primera classe dels nombres de cntor, la qual és infinita i constructiva.La sèrie de també és infinita, afegint 1 o iterant la operació.La segona classe dels nombres de cantor també és infinita i constructiva.La inducció finita o completa és fa sobre la primera classe, però també sobre la segona, i aleshores és transfinita
Diem que un conjunt és constructible si tenim un procediment per a construir els seus elements.Ãs una creença que O (el conjunt de ) existeix en acte, però no és constructible ja que, si bé podem construir cada element, no sâesdevé així pel que fa al conjunt complet.Els li serveixen a Cantor per a inditzar els

Cantor sostenia que lâinfinit existeix en acte i que els nombres tenen un grau de realitat major que els objectes de la natura.La quantitat de punts dâuna línea és
Cantor afirma que entre i no hi ha res.A això sâanomena la hipòtesi especial del continu.Si afirmem al mateix de i aleshores estem parlant de la hipòtesi general del continu.Això encara no sâha pogut demostrar, però es va demostrar que aquesta hipòtesi era independent (Cohen) i consistent (Gödel) de la resta de la teoría de conjunts de Cantor.Gödel creu que és falsa, però no ho afirma com farà erròniament Zubiri.
La reacció de Cantor a les paradoxes és que per molts infinits que pugam introduir en les matemàtiques, sempre quedarem lluny dâallò absolutament infinit.En el si de la teoría de conjunts, no podem parlar mai del conjunt de tots els conjunts, podem tendir a ell sense arribar-hi mai
Qualsevol conjunt és indefinidament extensible, però mai podrà donar lloc a una contradicció.Si lâhi dóna, el matemàtic haurà de tornar a contraure, però aleshores ens deixarem coses fora.Per tantals conceptes matemàtics cal acotar-los, no podem definir-los dâentrada amb precisió perque el rigor és inabastable.
Hem vist com , en 1938 Gödel demostrà que la hipòtesi del continu és consistent amb la resta dâaxiomes de la teoría de conjunts.Però també demostrà que si substituim la hipòtesi per la seua negació, és dóna lloc a una nova teoría, que també és consistent.Aleshores tenim, com en el cas de les geometries, dues teoríes diferents.
Zermelo, amb lâajuda de Fraenkel i Skolem, va intentar una axiomatització de la teoría de Cantor, que autoritza la jerarquía de conjunts.
Dâaltra banda, Wittgenstein diu que Cantor transgredeix els límits de la gramàtica, perque no és pot anar més enllà de allò que ens mostren els signes.ës a dir, puc mostrar lâinfinit, però no descriureâl, perque això suposari situar-me més enllà.Cantor ja se nâhavia adonat dâaixò pel que fa a lâinfinit absolut
La paradoxa de Russell deixa clar que el rigor és impossible.Si R és la classe de totes les classes que no son membres de si mateixes (x x)aleshores


Ramsey i Peano diferencien les paradoxes sintàctiques de les semàntiques.Els intents de Russell per solventar les paradoxes, compliquen les matemàtiques de tal manera que les seues solucions son rebutjades pels matemàtics que prefereixen les de Zermelo.
Cal assenalar qe en les paradoxes acostuna a haver-hi una autorreferència viciosa que és la que dóna lloc a contradiccions.A les matemàtiques, la causa de les paradoxes està en el princii dâabstracció que en un principi tots els matemàtics assumien com a veritable






Zermelo va modificar el principi per tal dâeliminar la paradoxa.A lâunivers tot son conjunts.Si vull formar un conjunt A, trauré del conjunt B tots aquells elements que tinguen la propietat ï?¦ï i els posaré a A.Per a formar qualsevol conjunt, haig de partir de conjunts.Els objectius de Zermelo son mantindre la consistència de la teoría i que es puga continuar podent demostrar en ella tot allò valuós

This work is in the public domain

Comentaris

Re: Molt interessant
21 mai 2004
Quin es el paio maco de la foto?
Re: Molt interessant
21 mai 2004
És el professor Farinna, autor de la investigació
Re: Molt interessant
21 mai 2004
us interessa contactar amb el professor?
Re: Molt interessant
21 mai 2004
Si estaria muy interesado para hablar con el y conocerle.
Re: Molt interessant
21 mai 2004
hay algún corte en el texto o es que no pillo?.
me pone lo de que el infinito pueda depender de la naturaleza de los elementos y no de su numero,y tambien del punto de vista del observador, lo que da vertigo a la abstraccion,rigor y consistencia,JA! euclides es maravilloso, pero de talla estrecha para que le quepa la complejidad y la paradoja, que aunque no sepamos como asumirla del todo, la sospechamos.prefiero una buena contradiccion a una "mala" teoria.
cual es la fuente de esto tan interesante? contexto antifascismo ¿? pues menudo viaje me he pegao, lo continuare en soledad
Re: Molt interessant
21 mai 2004
Podeu escriure-li al seu mail:
gil964 ARROBA hotmail.com
i us contestarà
Re: Molt interessant
21 mai 2004
Pues me asombra la inteligencia de los usuarios de Indymedia, porque yo lo he leido 3 veces y no me he enterado ni siquiera de lo que va!
Re: Molt interessant
21 mai 2004
zzz zzz zzz zzz zzz
Re: Molt interessant
21 mai 2004
interpretacion libre: la geometria euclidiana es un modelo de comportamiento coincidente con el fascismo en
1- todos los puntos del espacio estan controlados segun su (x,y,z)= el sueño de bush & cia
2- analisis sobre lo excepcional,una realida "simple", clara y coherente, elevado a categoria ideal= narraciones absolutistas
3- teoria que no explica mundo(solo aspectos) sino que se impone sobre el, ignorando aquello que no le cuadra(que no existe) y ocupada solo de su propia persistencia como entidad abstracta y suprema = estados fascistas
que el bueno de euclides sea magnanimo!
Re: Molt interessant
22 mai 2004
Molt bona la interpretació d'en Lewis Carroll
Sindicat