|
|
|
|
|
Notícies :: antifeixisme |
|
Molt interessant
|
|
|
per riemna |
21 mai 2004
|
|
Al segle XVIII, el matemàtic francès Gergonne va estudiar les relacions entre geometria plana i esfèrica.Pesaven les idees de Galileu i Newton, així com la filosofía crítica.Herbert, que coneixia molt bé aquesta filosofía , va rebre l’encàrrec de dissenyar un nou model educatiu per a Alemanya, i en aquest proposà un major comunicació entre ciències i humanitats. |
|
Lobatchevsky dirà en 1919 que la geometria és independent del món, tracta d’un model idealitzat.Gauss, però, fent medicions de caire geogrà fic, ja se n’havia adonat que la geometria del món no és pas la euclidiana.Hom es pregunta de què és veritable aleshores la geometria euclidiana. I la resposta és que no és veritable de res, de la geometria només interessa la consistència i no la veritat.
Amb la lògica matemà tica (Frege, Boole, Peano) es posarà de relleu que tampoc la lògica ha de tenir a vore amb la veritat.La lògica només és un mètode per a trasmetre la veritat d’unes premisses a d’altres, de manera que només trobarem la veritat si ja haviem partit d’ella.
Riemann, el qual aparentment no coneix la situació de la geometria del moment, fa una exposició sobre les hipotesis sobre les quals descansa la geometria, i afirma que tot depèn de la idea de varietat, que engloba conceptes com punt, lÃnia, volum, etc..El seu posicionament és que els conceptes no han de ser rÃgids, sino que han de poder contindre contradiccions insospitades, que permetran refinar el concepte fins que es torne a descobrir una altra contradicció, i repetir el procés ad infinitum.D’altra banda, segons com s’interpreten els conceptes, podran sorgir teories alternatives.Però, mentre que en ciència les noves teories substitueixen a les velles, en matemà tiques cal mantindre-les totes, perque cada una pot ser útil a u determinat propòsit.A més, Riemann afirma que poden haver diverse geometries del món.Cal dir que la teoria riemanniana és la més acceptada per la fÃsica actual.
Recordem que la geometria euclidiana exposada als “Elements� constava de postulats, nocions comuns i definicions.
El desafiament a la cinquana noció comú d’Euclides (el tot és més gran que la part) va donar lloc a la teoria de l’infinit actual, de la mateixa manera que el desafiament al postulat de les paral•leles havia donat lloc a les geometries no-euclidianes.
Aristòtil diu que les definicions son objectives i veritables.Si hom vol fer matemà tiques ha de sevir-se necessà riament de les definicions, i aquestes no poden violar l’ús establert per aquella.Les definicions ens dones l’essència d’allò definit, però no garanteixen l’existència de res.L’existència en geometria ve garantida pels axiomes i significa construcció: per tal que existeixi una figura geomètrica, aquesta ha de construir-se.Els grecs desconeixien la idea de l’espai, per això la geometria no és una ciència de l’espai, sino una ciènci activa de les figures geomètriques.Les definicions ens donen les coses que cal suposar, però que no podem construir (punt, lÃnia...)
Els postulats tenen tres funcions: fer explicits els supòsits, afirmar la possibilitat de certes construccions i afirmar les relacions bà siques existents entre certes entitats, bà siques per a poder demostrar teoremes.Ja des del començament, doncs, cal partir d’alguna cosa: la matemà tica té una naturalesa hipotètica.
Les nocions comuns serien l’equivalent als axiomes lògics
EL POSTULAT DE LES PARAL•LELES
Malgrat que els postulats no es demostren, hom va intentar demostrar el postulat de les paral•leles a partir dels altres quatre amb l’intenció de convertir-lo en teorema.Però aquests intents van fracassar.
Saccheri va demostrar que aquest postulat és independent dels altres
Per a Kant, la geometria és una ciència de l’espai: és veritable de les nostres intuicions pures a priori.Kant considera que la majoria dels coneixements matemà tics son judicis sint`tics a priori
Tant la filosofÃa de Kant com l’autoeitat d’Euclides suposen un obstacle per a l’aparició de les geometries no euclidianes.
EL PROBLEMA DE L’INFINIT
1) ACTITUD HISTÒRICA VERS L’INFINIT
La analitització de le geometria (representació dels punts com a parells de nombres) duta a terme per Descartes, permeté repreentar l’espai de manera numérica
Des del segle XVIII les matemà tques havioen experimentat un considerable desenvolupament grà cies a Leibniz i Newton.Però els fonaments fallaven, i al segle XIX encara restaven sense explicar molts conceptes bà sics.Front a això, Cauchy proposa un programa basat en el rigor i Weierstrass intenta l’aritmetització de l’anà lisi , programa que també intenta relitzar Klein.
Basant-se en que els conceptes més complexes poden explicar-se a partir d’altres més simples, volen explicar el nombre real en termes de nombre natural.Però encara que ho expliquem tot en termes de nombre natural, resta la pregunta de què és el nombre natural.Els matemà tics es llençen a intentar contestar-la i formen dos blocs.El primer, representat per Kronecker , defensava que la idea de nombre natural és prou intuitiva com per a poder justificar-ho tot a partr d’ella.L’altre bloc, representat per Dedekind, Cantor i Frege, va contestar que podem exlicar el nombre natural a partir de la idea de conjunt, anomanada “sistemaâ€? per Dedekind, “conjuntâ€? per Cantor i “concepteâ€? segons Frege.La teorÃa de Cantor era la més simple i a més permetia de resoldre problemes matemà tics, mentre que la de Frege va resultar ser inconsistent.Zermelo va axiomatitzar la teorÃa de Cantor amb la intenció d’evitar les paradoxes.
D’altra banda, la tendència representada per Kronecker es considera precursora de l’intuicionisme de Brouwer , el qual va influir molt al segon Wittgenstein.Aquesta tendència, seguint a Kant, considera la matemà tica com una construcció: és antimetafÃsica.Per contra, les idees de cantor estan carregades de metafÃsica, ja que considera la matemà tica com un descobriment.
De les idees de Frege va sorgir el logicisme, el qual defensa que l’aritmètica pot reduir-se a lògica.Frege desenvolupa la lògica formal i Russell continuarà aquesta tasca.
El formalisme, representat per Hilbert, pren idees del logicisme i de l’intuicionisme.
El cisma que s’ha produit al segle XIX ha estat causat per la idea d’infinit.Kronecker i Brouwer defensaran que l’infinit matemà tic és el potencial.Per a cantor, l’infinit seria una propietat dels conjunts.
Galileu se n’adona que l’essència de l’infinit és paradoxal : la part és igual que el tot.A més, galileu afirma que la llei de tricotomia no es aplicable en dominis infinits.La llei afirma que, donats dos nombres A i B, A només pot ser major, menor o igual que B.
Leibniz, que defensava que l’infinit actual es pot trobar a la natura, deia en canvi que en el cas de les matemà tiques l’nfinit només és una forma de parlar.
Gauss es basa en la idea de lÃmit per afirmar que podem parlar de l’infinit com les quntitats molt xicotetes o enormes a les quals tendim.
Fourier va expressar la seua teorÃa analÃtica del calor a través de l’anà lisi matemà tica.Troba l’infinit en acte en les sèries trigonomètriques.Per exemple, l’infinit actual seria la summa de
cos x + ½ cos 2x + 1/3 cos 3x + ....
Kant pensava que l’ordre dels nombres modelitza el apriori del temps.En una sèrie indefinida no podem tenir experència de cada element, per això no podem tenir experiència del temps, i caldrà considerar-lo com una condició prèvia.
Bolzano és el primer que planteja que l’infinit és una propietat de coses: de agregats (conjunts).Amb Bolzano, la matemà tica se separa de la realitat, i és precisament en aquesta època que sorgeixen les geometeies no euclidianes.Bolzano pensa que existeix un món propi de les matemà tiques, el qual és objectiu.És en aquest món on trobem que alguns agregats tenen la propietat de ser infinits en acte.Ho demostra afirmant que el conjunt de les veritats és infinit:
“Plató és grec�
“És veritat que “Plató és grec��
“És veritat que“És veritat que “Plató és grec��
“És veritat que“És veritat que“És veritat que “Plató és grec���
...
Però al fer això està emparellant el conjunt de les veritats amb el conjunt dels nombres naturals, el qual dona per suposat, i cau aixà en circularitat.
Dedekind usa una demostració similar pèr a demostrar la existència de sistemes (conjunts).Afirma que el conjunt dels seus objectes de pensament és infinit
““S� és un objecte del meu pensament�
“““S� és un objecte del meu pensament��és un objecte del meu pensament�
““““S� és un objecte del meu pensament��és un objecte del meu pensament�és un objecte del meu pensament�
....
Es diu que un conjunt és dedekind-infinit quan es pot posar en correlació amb una part seua pròpia.
Cantor era més agosarat que Dedekind i munta una nova teorÃa que li crea conflictes amb el altres matemà tics.La seua teorÃa és que l’infinit és múltiple i divers : hi han infinits infinits.
Cantor defineix conjunt com la “col•lecció en un tot d’objectes definits i separats de la nostra intuició o del nostre pensament que s’anomenen “elements��.Aquesta definició és el germe de les paradoxes, ja que “col•lecció� és sinònim de “conjunt�
Galileu posa en correlació cada nombre natural amb el seu quadrat, i arriba a la conclusió de que la quantitat de nombres naturals és igual a la dels seus quadrats, però com que els quadrats de N són un subcnjunt de N, aleshores la part és igual que el tot.(Un conjunt A és subconjunt de B quan tots els elements de A estan inclosos en B, però diem que A és una part impròpia quan tot element que està en A està també en B)
Els conjunts N i N2 tenen el mateix nombre d’elements, però no els mateixos elements.Si no tenim això en compte, sorgirà n paradoxes.
Cantor introdueix una idea de gran importà ncia: la de nombre cardinal.Necessitem saber quans nombres naturals existeixen, perque el conjunt N ens serveix de referència per a poder comparar.Cantor respon que la quantitat de nombres naturals és aleph sub zero
Per tant
Cal subratllar el gir radical que fa Cantor a l’eixir-se’n de l’infinit per a poder estudiar-lo des de fora.
Hom pot saber si un conjunt és infinit posant-lo en correlació amb N.Aleshores és planteja la questió de si podem trobar conjunts amb una cardinalitat major que aleph sub zero.La resposta és si: per exemple, el conjunt dels nombres reals.cantor diu que hi ha tants nombres racionals com naturals.Però el conjunt R és major i ho demostra amb l’argument de la diagonal.
Prenem els nombres reals compresos entre 0 i 1.Mentre que en els elements de N son discrets, en el cas de R no creixen solament en longitud, sino també en profunditat: entre dos R qualsevulla, sempre hi han infinits R.Correlacionem amb N un llistat de R compresos entre 0 i 1, formrm un nou nombre pel procediment de la diagonal i li summem 1 a cada dÃgit.El nombre resultant no està en la llista i per tant el cardinal de R ( ) és major que el de N ( )
El teorema de Cantor diu que “El cardinal d’un conjunt és estrictament menor al cardinal de les parts del conjunt�.cantor demostrà aquest teorema per als cardinals infinits i demostrà que el nombre d’infinits és infinit perque la operació és iterativa
Per a Cantor, és numerable qualsevol conjunt finit o infinit no major que N, mentre que si és major que N aleshores és no-numerable.
No hi ha fi en la jerarquia dels infinits.Però fixem-nos en que els subÃndex dels és un ordinal
Quan prenem els nombres naturals ordenats, la longitud és ï€ .També serà en el cas de que estiguen desordenats, perque podriem relacionar-los amb el patró.Però si prenem el conjunt
1, 3, 6, 10, 15, .... 0
trobem una diferència amb els anteriors i és que té un darrer element, de manera que la seua longitud serÃ
En un domini infinit es transformen les regles de l’aritmètica, ja que si summem un cardinal finit a un carduinal infinit el resultat sreà aquest cardinal infinit, però si summem dos cardinals infinits el resultat serà igual al major dels dos.
En el conjunt
0, 2, 3,... 1, 3, 5, ...
el cardinal és i l’ordinal és , és a dir 2
però
Els nombres naturals constitueixen la primera classe dels nombres de cntor, la qual és infinita i constructiva.La sèrie de també és infinita, afegint 1 o iterant la operació.La segona classe dels nombres de cantor també és infinita i constructiva.La inducció finita o completa és fa sobre la primera classe, però també sobre la segona, i aleshores és transfinita
Diem que un conjunt és constructible si tenim un procediment per a construir els seus elements.És una creença que O (el conjunt de ) existeix en acte, però no és constructible ja que, si bé podem construir cada element, no s’esdevé aixà pel que fa al conjunt complet.Els li serveixen a Cantor per a inditzar els
Cantor sostenia que l’infinit existeix en acte i que els nombres tenen un grau de realitat major que els objectes de la natura.La quantitat de punts d’una lÃnea és
Cantor afirma que entre i no hi ha res.A això s’anomena la hipòtesi especial del continu.Si afirmem al mateix de i aleshores estem parlant de la hipòtesi general del continu.Això encara no s’ha pogut demostrar, però es va demostrar que aquesta hipòtesi era independent (Cohen) i consistent (Gödel) de la resta de la teorÃa de conjunts de Cantor.Gödel creu que és falsa, però no ho afirma com farà erròniament Zubiri.
La reacció de Cantor a les paradoxes és que per molts infinits que pugam introduir en les matemà tiques, sempre quedarem lluny d’allò absolutament infinit.En el si de la teorÃa de conjunts, no podem parlar mai del conjunt de tots els conjunts, podem tendir a ell sense arribar-hi mai
Qualsevol conjunt és indefinidament extensible, però mai podrà donar lloc a una contradicció.Si l’hi dóna, el matemà tic haurà de tornar a contraure, però aleshores ens deixarem coses fora.Per tantals conceptes matemà tics cal acotar-los, no podem definir-los d’entrada amb precisió perque el rigor és inabastable.
Hem vist com , en 1938 Gödel demostrà que la hipòtesi del continu és consistent amb la resta d’axiomes de la teorÃa de conjunts.Però també demostrà que si substituim la hipòtesi per la seua negació, és dóna lloc a una nova teorÃa, que també és consistent.Aleshores tenim, com en el cas de les geometries, dues teorÃes diferents.
Zermelo, amb l’ajuda de Fraenkel i Skolem, va intentar una axiomatització de la teorÃa de Cantor, que autoritza la jerarquÃa de conjunts.
D’altra banda, Wittgenstein diu que Cantor transgredeix els lÃmits de la gramà tica, perque no és pot anar més enllà de allò que ens mostren els signes.ës a dir, puc mostrar l’infinit, però no descriure’l, perque això suposari situar-me més enllà .Cantor ja se n’havia adonat d’això pel que fa a l’infinit absolut
La paradoxa de Russell deixa clar que el rigor és impossible.Si R és la classe de totes les classes que no son membres de si mateixes (x x)aleshores
Ramsey i Peano diferencien les paradoxes sintà ctiques de les semà ntiques.Els intents de Russell per solventar les paradoxes, compliquen les matemà tiques de tal manera que les seues solucions son rebutjades pels matemà tics que prefereixen les de Zermelo.
Cal assenalar qe en les paradoxes acostuna a haver-hi una autorreferència viciosa que és la que dóna lloc a contradiccions.A les matemà tiques, la causa de les paradoxes està en el princii d’abstracció que en un principi tots els matemà tics assumien com a veritable
Zermelo va modificar el principi per tal d’eliminar la paradoxa.A l’univers tot son conjunts.Si vull formar un conjunt A, trauré del conjunt B tots aquells elements que tinguen la propietat ï?¦ï€ i els posaré a A.Per a formar qualsevol conjunt, haig de partir de conjunts.Els objectius de Zermelo son mantindre la consistència de la teorÃa i que es puga continuar podent demostrar en ella tot allò valuós |
This work is in the public domain |
Comentaris
|
Re: Molt interessant
|
|
per ?? |
21 mai 2004
|
|
Quin es el paio maco de la foto? |
|
Re: Molt interessant
|
|
per riemnn |
21 mai 2004
|
|
És el professor Farinna, autor de la investigació |
|
Re: Molt interessant
|
|
per reimn |
21 mai 2004
|
|
us interessa contactar amb el professor? |
|
Re: Molt interessant
|
|
per amor |
21 mai 2004
|
|
Si estaria muy interesado para hablar con el y conocerle. |
|
Re: Molt interessant
|
|
per lewis caroll |
21 mai 2004
|
hay algún corte en el texto o es que no pillo?.
me pone lo de que el infinito pueda depender de la naturaleza de los elementos y no de su numero,y tambien del punto de vista del observador, lo que da vertigo a la abstraccion,rigor y consistencia,JA! euclides es maravilloso, pero de talla estrecha para que le quepa la complejidad y la paradoja, que aunque no sepamos como asumirla del todo, la sospechamos.prefiero una buena contradiccion a una "mala" teoria.
cual es la fuente de esto tan interesante? contexto antifascismo ¿? pues menudo viaje me he pegao, lo continuare en soledad |
|
Re: Molt interessant
|
|
per erimnn |
21 mai 2004
|
Podeu escriure-li al seu mail:
gil964 ARROBA hotmail.com
i us contestarà |
|
Re: Molt interessant
|
|
per Pepe |
21 mai 2004
|
|
Pues me asombra la inteligencia de los usuarios de Indymedia, porque yo lo he leido 3 veces y no me he enterado ni siquiera de lo que va! |
|
Re: Molt interessant
|
|
per tincson... |
21 mai 2004
|
|
zzz zzz zzz zzz zzz |
|
Re: Molt interessant
|
|
per lewis carroll |
21 mai 2004
|
interpretacion libre: la geometria euclidiana es un modelo de comportamiento coincidente con el fascismo en
1- todos los puntos del espacio estan controlados segun su (x,y,z)= el sueño de bush & cia
2- analisis sobre lo excepcional,una realida "simple", clara y coherente, elevado a categoria ideal= narraciones absolutistas
3- teoria que no explica mundo(solo aspectos) sino que se impone sobre el, ignorando aquello que no le cuadra(que no existe) y ocupada solo de su propia persistencia como entidad abstracta y suprema = estados fascistas
que el bueno de euclides sea magnanimo! |
|
Re: Molt interessant
|
|
per joan |
22 mai 2004
|
|
Molt bona la interpretació d'en Lewis Carroll |
|
|
